Question

数学分析 设函数f(x)在(a,b)内连续且有极值点.证明:存在x1,x2∈(a,b),x1≠x2

数学分析
设函数f(x)在(a,b)内连续且有极值点.证明:存在x1,x2∈(a,b),x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)

Answer 1

设 z \in (a,b)为f在区间内的某个极值点，不妨设为极大值点（否则用-f(x)替代f(x)），则f在z的一个包含于(a,b)的闭邻域[u,v]内取最大值。设p = max {f(u),f(v)}， 则p < f(z)，因此可以选出x_1 \in [u,z)和x_2 \in (z,v]使得f(x_1)=f(x_2)=(p+f(z))/2。
（\in在LaTeX中表示属于）