Question

函数与方程的问题

1. 为什么方程ax�0�5+bx+c=0(a＞0)一根大于k，一根小于k，则f（k）＜0？2. 为什么x2＞x1＞k，则 f（k）＞0，-b/2a＞k，△＞0？3. 为什么方程的一根在区间（a，b），另一根在（c，d）上，则f（a）＞0， f（b）＜0，f（c）＜0，f（d）＞0？

Answer 1

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想。 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程。一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决。总之，在学习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案，本节知识主要分两个内容：① 结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。② 根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。以下就此进行阐述：一、 关于函数的零点。同学们已经学习了函数的概念，并且用映射的观点深刻地理解了函数这种对应关系，而函数和方程之间有什么样的联系呢?这就是我们研究函数零点的意义所在，并且这也是函数与方程思想的初步研究，为以后的学习将有重大帮助。函数的零点将函数的性质与方程联系在一起，它是函数与方程思想的一个基本体现，使我们初步体会到数学知识之间的紧密联系。函数的零点是函数的重要性质之一，考虑函数是否有零点对研究函数性质和精确地画出函数图象有着重要帮助。例如，求出二次函数的零点和顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质并能粗略地画出函数的简图。函数的零点，即函数与X轴交点的横坐标，亦即对应方程的根。我们可以通过方程来研究函数的性质。研究二次函数的零点，首先应明确函数零点，就是使得函数值为0的x的值，即相应方程的根。要明确函数零点的性质，其次应了解对一些简单三次函数甚至高次函数的零点求法，一般情况下采用的是分解因式法，转化为方程的根的求解，从而可以作出函数的简图。在此过程中，不难发现零点的一些性质：（1）函数的零点可以重合（二重的零点）也可以不重合，也可以没有零点；（2）若存在零点，只要不重合，而函数图象是连续的，这个零点就是变号零点；（3）相邻两个变号零点之间的函数值保持同号，而对任意函数，只要它的图象是连续不问断的，上述性质仍然成立。以下是关于函数零点的问题。　变式练习1．求下列函数的零点．（1）f（x）＝x2－3x＋2；　　（2）f（x）＝x2＋5x＋4；（3）f（x）＝－x2＋4x；　　（4）f（x）＝x3－8x2－9x．解析：解方程易求得对应函数的零点．答案：（1）1，2　（2）1，4　（3）0，4　（4）0，9，－12．下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于零?（1）f（x）＝－x2＋5x；　　　（2）f（x）＝x3－8x．解析：求出函数零点，考查函数在零点两侧的符号，可求得正值区间．答案：（1）（0，5）　（2）（ ，0），（ ，＋∞）3．求下列函数与x轴的交点．（1）f（x）＝x2－3x－10；　　　（2）f（x）＝3x2－x－2．解析：函数与x轴的交点，即对应方程的根，故解方程可得．答案：（1）5，－2　（2）1， 4．二次函数y＝x2＋mx＋（m＋3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（　　）　A．（－∞，－2）（6，＋∞）　　　B．（－2，6）　C．[－2，6]　　 　　　　　　　　D．[－2，6）解析：二次函数有两个不同的零点，意味着对应二次方程有两个不同的实根，则有 ，可求得m的取值范围．答案：A5．函数 的零点是（　　）　A．1，－1　　　B．1　　　　　　C．－1　　　　D．不存在解析：由 可得1－x2＝0且1＋x≠0，故可得x＝1．答案：B6．已知函数f（x）＝x2－1，则函数f（x－1）的零点是________．解析：由已知得f（x－1）＝（x－1）2－1则f（x－1）＝0，可得x＝0，2．答案：0，27．求出函数零点，画出函数简图，并说明函数值在哪些区间上大于零、小于零．（1）y＝x2－2x－1；　　　（2）y＝－2x2－3x＋1．解析：根据题意画出图象，或求得零点后说明．典型例题一【例1】讨论函数y＝（ax－1）（x－2）的零点．解析：本例主要是培养学生理解概念的程度和灵活应用知识的能力以及分类讨论思想的运用．（1）当a＝0时，函数y＝－x＋2，故其零点为x＝2；（2）当a≠0时，零点为x1＝1/a，x2＝2．点评：本题主要考查学生对函数零点的求法的灵活准确应用和分类讨论思想的运用，解题时要本着简洁直观的原则，按照函数零点的求法进行转化和求解．【例2】求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并根据零点画出简图．解析：对简单的三次函数的零点的求法，一般原则是进行分解因式，从而转化为求方程的根将零点求出．y＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函数的零点为－1、1、2．点评：本题主要考查学生对函数零点概念的理解，函数零点与方程的关系，等价转化的思想方法．【例3】下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于零?（1）y＝x2－3x－4；　　　　　　（2）y＝－x2＋2x＋3．解析：（1）易知函数零点为－1、4，画出函数简图可知自变量在（－∞，－1）内取值函数值也大于零；在（4，＋∞）时函数值也大于零．（2）同（1），注意函数图象开口向下，易求得答案．合作讨论一【问题1】已知二次函数y＝x2－x－2，试问x取哪些值时，y＝0？这些值与方程x2－x－2＝0的根有什么关系?我的思路：计算发现，问题1的值就是问题2中方程的根。即求函数的零点，就是求相应方程的根。【问题2】是不是任意的函数都有零点?不妨以二次函数为例作出说明。我的思路：考虑二次函数在判别式的变化下，与x轴的交点个数有所不同，相对应的二次方程将有不同情况的根。通过教学研究引导学生总结。1．函数零点的一般求法是求方程的根、分解因式等。2．根据函数零点的性质画出简图，判断函数取值的符号。3．注意数学思想在解题中的应用，数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等思想方法的应用。二、关于二分法二分法主要应用在求函数的变号零点当中，它是用计算机求解多项式方程时常用的一种方法，其基本思想是：若f（x1）与f（x2）的符号相反，则方程f（x）＝0在区间（x1，x2）至少有一个根。应教会学生牢记二分法的基本计算步骤，即基本思路为：任取两点x1和x2，判断（x1，x2）区间内有无一个实根，如果f（x1）和f（x2）符号相反，说明（x1，x2）之间有一个实根，取（x1，x2）的中点x，检查f（x）与f（x1）是否同符号，如果不同号，说明实根在（x，x1）区间，这样就已经将寻找根的范围减少了一半了。然后用同样的办法再进一步缩小范围。再找x1与x2（x2＝x）的中点“x”，并且再舍弃其一半区间。如果f（x）与f（x1）同号，则说明根在（x，x2）区间，再取x与x2的中点，并舍弃其一半区间。用这个办法不断缩小范围，直到区间相当小为止，即得到我们所要求的函数的零点。典型例题二　　【例1】已知集合A＝{x|x²－5x＋4≤0}与B＝{x|x²－2ax＋a＋2≤0，a R}，若A B＝A，求a的取值范围。　　解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识。　　【例2】已知x的不等式 ＞ax的解区间是（0，2），求a的值。　　解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题。合作讨论二【问题1】国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8％），计划可收购 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低 个百分点，预计收购量可增加2 个百分点。　　（1）写出税收 （万元）与 的函数关系式；　　（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78％，试求此时的 的值。　　点评：本题是一道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量。通过审题，建立了税收 （万元）和降低税率 的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决。在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题。【问题2】某电器公司生产A种瑾的家庭电器。1996年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低。2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率。求（1）2000年每台电脑的生产成本；（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）。　　解：（1）设2000年每台电脑的成本为 元，根据题意，得　　 ，解得 ＝3200（元）。　　（2）设1996年～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为 ，根据题意，得 。　　令 ，作出 、 的对应值表，如下表：00.150.30.450.60.750.91.051800-590-2000-2742-3072-3180-3200-3200　　观察上表，可知 ，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点 。　　取区间（0，0.15）的中点 ，用计算器可算得 。　　再取（0.075，0.15）的中点 ，用计算器可算得 。同样做下去，　　由于|0.1078125-0.10546875|＝0.00234375＜0.01，此时区间（0.10546875，0.1078125）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11。　　答：（1）2000年每台电脑的生产成本为3200元；　　（2）1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%。　　点评：这是一个降低成本提高效率的问题。注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%。成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率。在第（2）问中所要解的方程 要求用二分法来解，主要目的地是熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想。【问题3】已知f（x）＝（x＋1）·|x＋1|，若关于x的方程f（x）＝x＋m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围。　　点评：本题将函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想有机地结合在一起。二次函数与二次方程有着密切的联系，利用二次函数的直观性，可以判断一元二次方程根的存在性及根的个数，帮助体会“数形结合”的思想方法。【问题4】求方程f（x）＝x3－x－1＝0在区间（1，1.5）内的实根，要求准确到小数点后第2位。　　解析：用二分法。考查函数f（x）＝x3－x－1，从一个两端函数值反号的区间（1，1.5）开始，逐步缩小方程实数解所在区间。　　经计算，f（1）＝－1＜0，f（1.5）＝0.875＞0，所以函数f（x）＝x3－x－1在［1，1.5］内存在零点。　　取［1，1.5］的中点1.25，经计算，f（1.25）＝－0.297＜0，又f（1.5）＞0，所以函数f（x）在［1.25，1.5］内存在零点，亦即方程x3－x－1＝0在［1.25，1.5］内有解。　　如此下去，得到一系列有根区间的表：kakbkxkf（xk）的符号011.51.25－11.251.51.375＋21.251.3751.3125－31.31251.3751.3438＋41.31251.34381.3281＋51.31251.32811.3203－61.32031.32811.3242－至此，可以看出，取x6＝1.32，则能达到所要的精度， ，即|x*－x6|＜0.005。（x*为方程的准确解）所以，方程符合条件的实根是1.32。　　点评：本例题是新的课程标准在原教学大纲基础上新增内容，本质上是为了提升函数与方程的联系这一内容。利用二分法求方程实数解的过程比较长，选取适当的初始区间，可以减少计算次数，从而大大减少计算量，计算时最好使用计算器。计算过程中，要及时检查求出的近似根是否满足精度要求，达到要求即可。当计算出x5＝1.3203时，区间［a5，b5］的长度|b5－a5|＝|1.3281－1.3125|＝0.0156，x5与方程准确解x*的误差|x*－x5|≤ ×0.0156（半区间长）＝0.0078，不能保证小于0.005，从而精度也无法保证达到0.01。因此需将［a5，b5］再进行二分。求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的变号零点都有效。如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这，一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，但它的优点是一种通法，只要按部就班的去做，总会算出结果。更大的优点是，它可以让计算机来实现。例如，我们可以编写程序快速求出一个函数的零点。这是算法的初步，对以后学生学习算法知识奠定基础

Answer 2

这些都是根据图像得出的