Question

若不等式2x-1>m(x^2+1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是

如题

Answer 1

若不等式2x-1>m(x*x-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围
解：(1)当x*x-1>0,即x<-1或x>1时，
不等式两边除以x*x-1，不等式不变号。
得 (2x-1)/(x*x-1)>m，此式对满足-2≤m≤2的所有m都成立，
所以(2x-1)/(x*x-1)>2，
2x-1>2*(x*x-1),
2*x*x-2*x-1<0,
4*x*x-4*x-2<0
(2x-1)*(2x-1)<3,
-√3<2x-1<√3,
(1-√3)/2<x<(1+√3)/2 又x<-1或x>1
所以此时，1<x<(1+√3)/2
(2)当x*x-1<0,即-1<x<1时，
不等式两边除以x*x-1，不等式变号。
得 (2x-1)/(x*x-1)<m，此式对满足-2≤m≤2的所有m都成立，
所以(2x-1)/(x*x-1)<-2，
2x-1>(-2)*(x*x-1),
2*x*x+2*x-3>0,
4*x*x+4*x-6>0
(2x+1)*(2x+1)>7,
2x+1<-√7或2x+1>√7,
x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2 又-1<x<1
所以此时，(-1+√7)/2<x<1
(3)当x=1时，不等式变为1>0,所以对满足-2≤m≤2的所有m都成立
x=1符合题意
(4)当x=-1时，不等式变为-3>0,不成立
x=-1不合题意
综上，(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2