Question

已知二次函数f(x)满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,g(x)=2f(-x)+x.求f[g(x)]的表达式

Answer 1

因为f（0）=0，可以设此二次函数的解析式为：f（x）=ax�0�5+bx，因为f(x+1)=f(x)+x+1，所以a（x+1）�0�5+b（x+1）=ax�0�5+bx+x+1，左边化简得：ax�0�5+2ax+bx+a+b，右边化简得ax�0�5+x+bx+1，由f(x+1)=f(x)+x+1中x的任意性可知：2a=1，a+b=1，所以a=b=1/2，f(x)=0.5x�0�5+0.5x所以g（x）=2（0.5x�0�5-0.5x）+x=x�0�5，f[g(x)]=f(x�0�5)=0.5x^4+0.5x�0�5

Answer 2

可以知道，f(x)为二次函数（因为x每增加1，函数值增加的量是含有x一次项的代数式），对应的函数值增加量，且c=0（f(0)=0）所以可设f(x)=ax�0�5+bx，用两个数代入，解得a=�0�5，b=�0�5所以g(x)=x�0�5-x+x=x�0�5所以f[g(x)]=f(x�0�5)=�0�5x�6�6+�0�5x�0�5

Answer 3

因为f（0）=0，可以设此二次函数的解析式为：f（x）=ax²+bx，因为f(x+1)=f(x)+x+1，所以a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，左边化简得：ax²+2ax+bx+a+b，右边化简得ax²+x+bx+1，由f(x+1)=f(x)+x+1中x的任意性可知：2a=1，a+b=1，所以a=b=1/2，f(x)=0.5x²+0.5x所以g（x）=2（0.5x²-0.5x）+x=x²，f[g(x)]=f(x²)=0.5x^4+0.5x²