Question

在三角形abc中 ac等于bc 角c等于90度，AE平分角BAC交BC于E，ED垂直于AE交AE延

在三角形abc中 ac等于bc 角c等于90度，AE平分角BAC交BC于E，ED垂直于AE交AE延长线于D，DM垂直于AC交AC延长线于M，连接CD，以下四个结论，（1）角ADC等于45度。（2）BD等于二分之一AE（3）AC加CE等于AB（4）AB减BC等于2MC.其中正确的有几个？
答案应该是全对，可是不知道怎么证明，谁能在纸上写一下拍个照片发过来啊？感激不尽！！！

Answer 1

首先纠正一个笔误:"ED垂直于AE交AE延长线于D"应为"BD垂直于AE交AE延长线于D"
四个结论都正确,理由如下:
(1)∵∠ACB=90°   AC=BC  ∴∠ACB=∠ABC=45°
因为∠ACB=∠ADB=90°    ∴A、B、D、C四点共圆
∴∠ADC=∠ABC=45°
(2)取AE的中点F,∴CF=AE/2  (直角三角形斜边上的中线性质)
因为AE平分∠BAC,FA=FC  ∴∠FAC=∠FCA=45°/2    ∴∠CFD=∠FAC+∠FCA=45°=∠ADC
∴CD=CF
因为∠DCB=∠DAB=45°/2    ∠DBC=∠DAC=45°/2    ∴∠DCB=∠DBC
∴DC=DB   ∴BD=CF=AE/2
(3)过E作EG⊥AB于G,则EC=EG(角平分上的点到这个角的两这距离相等)
易证△ACE≅△AGE∴AC=AG
又∠GBE=45°   ∴∠GEB=45°   ∴BG=EG=CE
∴AC+CE=AG+GB=AB
(4)延长BD交AC延长线于H,
因为AD平分∠BAC  AD⊥BD    ∴AH=AB(三线合一性质)
∴∠H=∠ABH
因为A、B、D、C四点共圆,∴∠DCH=∠ABH
∴∠H=∠DCH   ∴DC=DH    又DM⊥CH    ∴MC=MH⇒CH=2MC
∴AB-BC=AH-AC=CH=2MC