Question

设双曲线x²-y²=6的左右顶点分别 为a1a2,p是双曲线右支上的一点 ，且∠pa2x=3∠pa

设双曲线x²-y²=6的左右顶点分别 为a1a2,p是双曲线右支上的一点 ，且∠pa2x=3∠pa1x+10°，求 ∠pa1x的度数

Answer 1

设∠PA1A2=α,则∠A1PA2=4α，0°<α<36°。
设P(asect,atant),其中a=√2012，0°<t<90°由正弦定理，
A1A2/sin4α=PA1/sinα=PA2/sin5α，①
A1A2=2a,PA1=√[(asect+a)^+(atant)^]=a√[2(sect)^+2sect],
PA2=√[(asect-a)^+(atant)^]=a√[2(sect)^-2sect],
①变为2/sin4α=√[2(sect)^-2sect]/sinα=√[2(sect)^+2sect]/sin5α,
2sinα/sin4α=√[2(sect)^-2sect],②
2sin5α/sin4α=√[2(sect)^+2sect]，③
[③^-④^]/4,sect=[(sin5α)^-(sinα)^]/(sin4α)^=sin6α/sin4α,
代入③^/2，2(sin5α/sin4α)^=sin6α(sin6α+sin4α)/(sin4α)^,
∴2(sin5α)^=sin6α(sin6α+sin4α)=2sin6αsin5αcosα,
sin5α=sin6αcosα=(sin7α+sin5α)/2,
∴sin7α-sin5α=0,
2cos6αsinα=0,
cos6α=0,
∴a=15°，为所求。