Question

利用卡当公式解三次方程x∧3＋6x＝20

Answer 1

直接用公式去解，就是金盛公式或卡丹公式。解三次方程问题，是很有趣的问题。X3－15X＋22=0是一个比较有趣的方程。这个方程是一个比较简单的三次方程，有好几种方法可以求解。如用猜根法、降次法、待定系数法、因式分解法、卡尔丹公式法、盛金公式法等都可以求解。以下用几种方法求解进行比较。
猜根法：简单地从整数猜，可猜到有一根为X=2。把X=2代入X3－15X＋22=0，为：左边=右边=0。∴X=2是原方程的一个根。猜出了一个整数根就好办了，下一步用降次法或待定系数法求解都比较快。
降次法：即：(X3－15X＋22)÷(X－2)=(X2＋2X－11)，就是：(X－2)(X2＋2X－11)=0，解得：X1=2；X2=－1＋2√3；X3=－1－2√3。
待定系数法：X3－15X＋22=(X－2)(X2＋pX＋q)=X3＋(p－2)X2＋(q－2p)X－2q=0，即：X3－15X＋22=X3＋(p－2)X2＋(q－2p)X－2q=0。有：p－2=0；－2q=22，解得：p=2；q=－11。∴X3－15X＋22=(X－2)(X2＋pX＋q)=(X－2)(X2＋2X－11)。即：X3－15X＋22=(X－2)(X2＋2X－11)=0。解得：X1=2；X2=－1＋2√3；X3=－1－2√3。
因式分解法：X3－15X＋22=X3＋2X2－11X－2X2－4X＋22=(X3－2X2)＋(2X2－4X)－(11X－22)=X2(X－2)＋2X(X－2)－11(X－2)=(X－2)(X2＋2X－11)，即：X3－15X＋22=(X－2)(X2＋2X－11)=0。解得：X1=2；X2=－1＋2√3；X3=－1－2√3。
卡尔丹公式法：卡尔丹公式：一元三次方程 X3＋pX＋q=0
(p、q∈R)判别式Δ=(q/2)2＋(p/3)3。X1=3√Y1＋3√Y2；X2=3√Y1ω＋3√Y2ω2；X3=3√Y1ω2＋3√Y2ω，其中：ω=(－1＋√3i)/2；Y1，2是方程Y2＋qY－(p/3)3=0的解。
卡尔丹公式的这种表达式摘自《教学月刊》（中学理科版），1990年第3期（国内统一刊号：CN33-1046），范盛金，运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨。卡尔丹公式的这种表达式较简明，很方便记忆。见： http://s5518.bbs.xilu.com/ 运用韦达定理证明卡尔丹公式之探讨
一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。令Y=－b/(3a)代入可化为适合直接套用卡尔丹公式求解的形如Y3＋pY＋q=0的方程。因此，卡尔丹公式是一般式一元三次方程的求根公式。
方程X3－15X＋22=0是一个适合直接套用卡尔丹公式求解的方程，可是用卡尔丹公式求解并不方便。∵Δ=(q/2)2＋(p/3)3=(22/2)2＋(－15/3)3=－4＜0。∴此时卡尔丹公式存在虚数性，不便发挥计算器的作用，解题较为麻烦（解法略）。卡尔丹是第一个把负数写进二次根号内的学者，由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。尽管卡尔丹公式解题存在复杂性，但是卡尔丹公式对科学的贡献是巨大的，因此，史称卡尔丹公式是伟大的公式。
盛金公式法：盛金公式：一元三次方程aX3＋bX2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC＞0时，盛金公式②：X1=(－b－3√Y1－3√Y2)/(3a)；X2，3=(－2b＋3√Y1＋3√Y2±√3(3√Y1－3√Y2)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a(－B±√(B2－4AC))/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC＜0时，盛金公式④：X1=(－b－2√Acos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋√A(cos(θ/3)±√3sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2√A3)，(A＞0，－1＜T＜1)。
与卡尔丹公式相比较，盛金公式解题较为直观，效率较高。
解方程X3－15X＋22=0解：a=1，b=0，c=－15，d=22。A=45；B=－198；C=225，Δ=－1296＜0。∵Δ＜0，∴应用盛金公式④求解。θ=10.30484647°把有关值代入盛金公式④，得：X1=－4.464101615；X2=2.464101615；X3=2。
用盛金公式这个方程得出的结果是否正确？可用韦达定理检验。
当然，这道题前面已有正确答案，用计算器检验更快。前面用降次法解得：X1=2；X2=－1＋2√3；X3=－1－2√3。
用计算器检验：X2=－1＋2√3≈2.464101615；X3=－1－2√3≈－4.464101615。所以，结果正确。 各种方法解题的特点小议
用猜根法、降次法、待定系数法解方程X3－15X＋22=0比较快捷，用因式分解法求解有点费心机，但这个方程是一个很简单的方程，用这些方法求解都不成问题。但在现实中，三次方程是各种类型的，有些较为复杂。较为复杂的三次方程用猜根法、降次法、待定系数法、因式分解法就不方便求解了，甚至无法求解。例如把方程X3－15X＋22=0改成X3－√15X＋√22=0，这时用猜根法、降次法、待定系数法、因式分解法就不可能求解了，这时可用卡尔丹公式求解或用盛金公式求解。虽然方程X3－√15X＋√22=0可直接套用卡尔丹公式求解，但是用盛金公式求解较为方便。不妨用盛金公式求解如下：解方程X3－√15X＋√22=0解：a=1，b=0，c=－√15，d=√22。A=3√15；B=－9√22；C=15，Δ=1084.862998。∵Δ＞0，∴应用盛金公式②求解。Y1=112.7265005；Y2=13.914725。把有关值代入盛金公式②，得：X1=－2.411974452；X2，3=1.205987226±0.7001658542i。
用韦达定理检验：X1＋X2＋X3=0；X1X2＋X1X3＋X2X3=X1(X2＋X3)＋X2X3≈－3.87298334；X1X2X3≈－4.69041576。而－b/a=0；
c/a≈－3.87298335； －d/a≈－4.69041576。经检验，结果正确。
如果把方程X3－√15X＋√22=0改成√2007X3＋3√5518X2－√15X＋√22=0，这样的方程就更为复杂了，那么用其他方法就很不方便求解，甚至无法求解，而用盛金公式可方便求解。不妨用盛金公式求解如下：
解方程√2007X3＋3√5518X2－√15X＋√22=0解：a=√2007，b=3√5518，c=－√15，d=√22。A=832.7872082；B=－1959.596189；C=－233.6526892，Δ=4618349.10。∵Δ＞0，∴应用盛金公式②求解。Y1=290813.3919；Y2=1986.038936。把有关值代入盛金公式②，得：X1=－0.7179661479；X2，3=0.1617603815±0.3459178368i。
用韦达定理检验：X1＋X2＋X3≈－0.39444538；－b/a≈－0.39444538，X1X2＋X1X3＋X2X3=X1(X2＋X3)＋X2X3≈－0.08645139；c/a=≈－0.08645138，X1X2X3≈－0.10469782；－d/a=≈－0.10469782。经检验，结果正确。
方程√2007X3＋3√5518X2－√15X＋√22=0用卡尔丹公式求解不方便，用盛金公式就这么简捷地求解了。用盛金公式求解三次方程最关键的是熟练操作科学计算器。操作科学计算器是一件很简单的事，因此，用盛金公式求解三次方程是一件很简单的事。
只要熟练操作科学计算器，任意实系数的一元三次方程，运用盛金公式都可以很顺畅地求解。这是盛金公式解题法的最大特点。前面说了方程X3－√15X＋√22=0用猜根法、降次法、待定系数法、因式分解法是不可能求解的，为什么？猜根法、降次法、待定系数法、因式分解法不是万能的，是很有局限性的，只能解一些简单的方程。有谁能猜到方程X3－√15X＋√22=0有一实根为X1=－2.411974452呢？又有谁能猜到方程√2007X3＋3√5518X2－√15X＋√22=0有一实根为X1=－0.7179661479呢？这比猜银行的保险柜的密码还要困难。因此，求解一元三次方程问题尤其是求解较为复杂的一元三次方程问题，用卡尔丹公式求解或用盛金公式求解是科学的选择。
由于盛金公式优越于卡尔丹公式，显然用盛金公式求解一元三次方程是最科学的选择。
有点多，你蛮看一下。