Question

f(x+y)=f(x)*f(y),x<0,f(x)>1

f(x)定义域为R，x＜0时，f（x）值域（1，+∞）对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)*f(y)成立
（1）f（x）取值范围 （2）f（x）在R上的单调性 （3）若f（1）=1/2 解 f（2x）＜4f（x-1）
各位数学大虾拔刀相助！！高一的题目。。。

Answer 1

f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)
所以f(0)=1
(1)
当x>0时
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
因为1<f(-x)<+∞
所以0<f(x)<1
所以x∈R时 0<f(x)<+∞
(2)
对任意a>0,x∈R
有 x+a>x
f(x+a)-f(x)= f(x)*f(a)-f(x)=f(x)(f(a)-1)
由(1)知，x>0时0<f(x)<1
所以0<f(a)<1
所以f(x+a)-f(x)= f(x)*f(a)-f(x)=f(x)(f(a)-1)<0
所以f(x+a)<f(x)
所以f(x)在R上单调递减
(3)
f(2x)<4f(x-1)
f(2x)-4f(x-1)<0
f(2x)-4f(x-1)=f(x+x)-4f(x-1)=f(x)*f(x)-4f(x)*4f(-1)
由(1)知f(1)=1/f(-1)
所以f(-1)=1/f(1)=2
f(2x)-4f(x-1)=f(x+x)-4f(x-1)=f(x)*f(x)-4f(x)*4f(-1)=(f(x))²-8f(x)=f(x)[f(x)-8]<0
因为f(x)>0
所以f(x)-8<0
f(x)<8
f(1)=1/2
f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=1/4
f(3)=f(2+1)=f(2)*f(1)=1/4 * 1/2=1/8
所以f(-3)=1/f(3)=8
f(x)<8即f(x)<f(-3)
因为f(x)在R上单调递减
所以x > -3