Question

如何更快地学会因式分解法？求解

Answer 1

这个方法学会了，更多的是需要联系啦，题目做的多了以后一看到因式就有感觉了，知道分解成什么啦

Answer 2

其实主要是记住大量的模版，你就可以一眼看出来了，这可能需要敏捷的思维。说到底，还是数学天分的问题

Answer 3

因式分解，也叫分解因式，
是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；
示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”
“月” 和 “目” 就是 3na、3nb 的两个长方形，写成 3na + 3nb 像 “朋” 就是两项式
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3n ( a + b ) 的一个长方形
把 3na + 3nb 的两项式变成 3n ( a + b ) 乘积的式子就是因式分解

分解因式最简单的方法，就是提公因式
不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子
例如
( a + b )( 3m + 2n ) + ( 2m + 3n )( a + b )，——公因式是 ( a + b )
= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )，——提出公因式 ( a + b )
= ( a + b )( 5m + 5n )，——这样再提系数 5
= 5( a + b )( m + n )

公式法，
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用
a" - b" = (a - b)(a + b)
a" + 2ab + b" = (a + b)"
a" - 2ab + b" = (a - b)"
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")
a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")

分组分解法，十字相乘法，最好还是结合起来
先把一次项一分为二，
这样分开两组提公因式，做起来就轻松多了；
就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
还有
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"

再看一般多项式
系数、因数，先不管一次项，就看常数项：
如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两项的和；

x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
还有，负负得正
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两项的相差数；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
还有
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )

看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，
分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？
怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。
还有 5x 和 6 ，15x 和 54 ，20x 和 96 …… 都有这样的 4 种结果，
使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。

分解因式的这个方法
关键是常数项的正负决定了一次项系数怎样分开两项，
接下来一步一步，分别提取公因式就轻松多了；
只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，
例如
4x" - 31x - 45
对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45，我们都会想到 31 = 36 - 5 ，那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )

如果记公式不熟悉，就看看我的办法
平方差 a" - b" = (a - b)(a + b) 相信我们都熟悉，
我们也一定知道
25 = 5 X 5
24 = 4 X 6 = (5 - 1)(5 + 1) = 5" - 1"
21 = 3 X 7 = (5 - 2)(5 + 2) = 5" - 2"
16 = 2 X 8 = (5 - 3)(5 + 3) = 5" - 3"
长加宽都是 10，正方形面积最大

我还发现，算平方用平方差比完全平方更方便
a"
= a" - b" + b"
= (a - b)(a + b) + b"
这样 (a - b) 或 (a + b) 就可变成整十整百来计算，例如
7" = 7" - 3" + 3" = ( 7 - 3 )( 7 + 3 ) + 9 = 4 X 10 + 9 = 49

8" = 8" - 2" + 2" = ( 8 - 2 )( 8 + 2 ) + 4 = 6 X 10 + 4 = 64

99" = 99" - 1" + 1" = (99 - 1)(99 + 1) + 1 = 98 X 100 + 1 = 9801
55" = 55" - 5" + 5" = (55 - 5)(55 + 5) +25 = 50 X 60 +25 = 3025
45" = 45" - 5" + 5" = (45 - 5)(45 + 5) +25 = 40 X 50 +25 = 2025
这样也帮我们记住，完全平方第三项是 +b"

或者有了我的方法和平方差公式，
完全平方公式也可以抛开不用了

立方和与立方差
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
立方和，只有一个 ab 是负值
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )
立方差，只有两项的 (a - b) 还是相减，三项的三个就都是正数

或者，具体例子
8 - 1 = 7
2"' - 1 = 4 + 2 + 1
2"' - 1 = 1 X ( 2" + 2 + 1 )
2"' - 1 = ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
见到 8 - 1 = 4 + 2 + 1 ，我就立即想到 “棋盘上的麦粒” 问题
通过各种联想，各种生动的形象，
就能把我们的一个个知识点串连起来，
我们就能学得牢、记得牢。

注意
分解因式，必须尽可能地，把指数分解得越小越好
能够继续分解，就要继续分解，所以还要尽可能地为继续分解创造条件
例如我的一个经验教训
a^6 - b^6

我做成
= (a")"' - (b")"'
= (a" - b")[ (a")" + a"b" + (b")" ]
= (a - b)(a + b)(a^4 + a"b" + b^4)
这样还有四次项就不对
应该
= (a"')" - (b"')"
= ( a"' - b"' )( a"' + b"' )
= (a - b)(a" + ab + b")(a" - ab + b")(a + b)

因式中只剩二次项，才是正确的
积极开动脑筋，祝你成功，学习进步！

追问

为什么要两边同时加9

追答

这就是配方法，就是要变成完全平方式呀
x" + 6x - 16 = 0
x" + 6x = 16
x" + 2(3x) + 3" = 4" + 3"
(x + 3)" = 5"
x + 3 = 5 或 x + 3 = -5
x = 2 或 x = -8

换我的方法
x" + 8x - 2x - 16 = 0
x( x + 8 ) - 2( x + 8 ) = 0
( x - 2 )( x + 8 ) = 0
或者
x" - 2x + 8x - 16 = 0
x( x - 2 ) + 8( x - 2 ) = 0
( x - 2 )( x + 8 ) = 0
这样， x = 2 或者 x = -8 就显而易见了。

还可以
x" + 6x + 3" - 3" - 16 = 0
( x + 3 )" - 5" = 0
( x + 3 - 5 )( x + 3 + 5 ) = 0
( x - 2 )( x + 8 ) = 0