Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin(C/2).

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin(C/2).(1)求sinC的值.(2)若a^2+b^2=4(a+b)-8,求边c的值.请用半角公式求一下谢谢。我一开始的想法就是代入半角公式求第一问，但是第二问的cosC有两个值。如果把sinC化成sinC/2就没有两个值。

Answer 1

1
sinC+cosC=1-sin（C/2）
2sin(C/2)cos(C/2)=2sin²(C/2)-sin（C/2)
∵sin(C/2)≠0
∴2cos(C/2)=2sin(C/2)-1
sin(C/2)-cos(C/2)=1/2
[sin(C/2)-cos(C/2)]^2=1/4
1-sinC=1/4,
sinC=3/4
2
∵a^2+b^=4（a+b）-8
∴(a-2)^2+(b-2)^2=0
∴a=2,b=2
∵sin(C/2)-cos(C/2)=1/2
∴[sin(C/2)+cos(C/2)]^2=1+3/4=7/4
∴sin(C/2)+cos(C/2)=√7/2
∴sin(C/2)=(√7+1)/4
∴cosC=1-sin(C/2)-sinC=1/4-sin(C/2)=-√7/4
∴c^2=a^2+b^2-2abcosC=8+2√7
∴c=1+√7

Answer 2

解： ∵sinC=2sin0.5C ×cos0.5C, cosC=cos0.5C×cos0.5C-sin0.5C×sin0.5C
∴2sin0.5C ×cos0.5C+cos0.5C×cos0.5C-sin0.5C×sin0.5C+sin0.5C=1
∵∠C<180°
∴sin0.5C,cos0.5C>0, 设sin0.5C=x
则有：2x×（1-x^2）^(1/2)+1-2×x^2+x=1
解得：x=[7^(1/2)-1]/4
∴cosC=cos0.5C×cos0.5C-sin0.5C×sin0.5C=1-2sin0.5C×sin0.5C
=1-2×x^2=7^(1/2)/4

又∵a^2+b^2=4(a+b)-8 化简得到：（a-2）^2+(b-2)^2=0
∴a=b=2

根据余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
=4+4-8×7^(1/2)/4
∴c=7^(1/2)-1