Question

设A是秩为3的5*4矩阵，a1,a2,a3是非齐次线性方程组AX=B有三个不同的解，若(a1)+(a2)+2(a3)=(2,0,0,0,0)

设A是秩为3的5*4矩阵，a1,a2,a3是非齐次线性方程组AX=B有三个不同的解，若(a1)+(a2)+2(a3)=(2,0,0,0,0)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组AX=B的通解是？

解: 因为r(A)=3, 所以AX=0的基础解系含 4-r(A)=1个解向量
所以 (3a1+a2)-(a1+a2+2a3)=(0,4,6,8)^T≠0 是AX=0的基础解系
(1/4)(a1+a2+2a3)=(1/2,0,0,0)^T 是AX=B的特解
所以方程组AX=B的通解是 (1/2,0,0,0)^T + c(0,4,6,8)^T.
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为什么这个特解这么复杂，而不是从a1,a2,a3中随便取一个？

明天考试，急，谢谢！

Answer 1

因为r(A)=3，所以AX=0的基础解系含 4-r(A)=1个解向量

所以 (3a1+a2)-(a1+a2+2a3)=(0,4,6,8)^T≠0是AX=0的基础解系

(1/4)(a1+a2+2a3)=(1/2,0,0,0)^T 是AX=B的特解

所以方程组AX=B的通解是 (1/2,0,0,0)^T + c(0,4,6,8)^T

对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

扩展资料：

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

Answer 2

这和已知给出的条件有关：,3a1+a2是AX=4B的解，(a1)+(a2)+2(a3)=也是,AX=4B
他们的差，是AX=0的非零解。因为r(A)=3，这个非零解就是AX=0的基础解系，
至于特解：用(1/4)(a1+a2+2a3)还是用 (3a1+a2)/4，都可以。