Question

函数f（x)的定义域为R，若f（x+1)与f(x-1)都是奇函数，则

A.f(x）是偶函数，B.f(x)是奇函数，C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数

Answer 1

f（x+1)在R上是奇函数，f（x+1)=-f（-x-1)。。。。。。。。。(1)同理f（x-1)=-f（-x+1)................(2) 有(2)式知：f（x+1)=-f（-x+3)由（1）式可得f（-x-1)=-f（-x+3)即f(x)=f(x+4)所以函数y=f(x)为周期为4的周期函数f(x-1)是奇函数 得f(x+3)是奇函数

Answer 2

选B。
f(x+1）=-f(-x-1)
f(x-1)=-f(1-x)
又，(x+1+(-x-1))/2=0
(x-1+(1-x))/2=0
f(x+1）+f(-x-1)=O
f(x-1)+f(1-x)=0
所以，f(x)以原点为对称轴
所以，选B

Answer 3

f(-x+1)=-f(x-1)f(-x-1)=-f(x+1)f(-x-3)=-f(x-1)=f(-x+1)f(x+1)=f(x-3)所以f（x）的周期为4f（-x+3）=f（-x-1)=-f（x+1)=-f（x-3）所以f（x+3)是奇函数