Question

已知数列{an}，Sn为前n项和为sn=n^2,设bn=an/3^n,记数列{bn}的前n项的和为Tn

（1），求数列{an}的通项公式 （2），求证：Tn=1-（n+1)/3^n

Answer 1

（1）a(n) = s(n) - s(n-1) = n^2 - (n-1)^2 = 2n-1, n = 1,2,...
（2）b(n) = a(n)/3^n = (2n-1)/3^n = 2*n/3^n - (1/3)^n
设：c(n) = n/3^n, n = 1,2,...
G(n) = c(1) + c(2) + ... + c(n)
= 1/3^1 + 2/3^2 + ... + n/3^n,
3G(n) = 1 + 2/3 + ... + n/3^(n-1),
2G(n) = 1 + 1/3 + ... + 1/3^(n-1) - n/3^n
= [1 - 1/3^n]/[1 - 1/3] - n/3^n
= 3/2[1 - 1/3^n] - n/3^n,
T(n) = b(1) + b(2) + ... + b(n)
= 2G(n) - [1/3 + (1/3)^2 + ... + (1/3)^n]
= 3/2[1 - 1/3^n] - n/3^n - 1/3[1 - 1/3^n]/[1-1/3]
= 3/2 - (3/2)(1/3^n) - n/3^n - 1/2 + (1/2)(1/3^n)
= 1 - (1+n)/3^n

Answer 2

解：(1)。由an=Sn-S(n-1)=n�0�5-(n-1)�0�5=2n-1，a1=S1=1→an=2n-1 (2)。Tn=1/3+3/9+······+(2n-3)/3^(n-1)+(2n-1)/3^n——① Tn/3=1/9+3/27+······+(2n-3)/3^n+(2n-1)/3^(n+1)——② 由①—②得：Tn=1—(n+1)/3^n

Answer 3

a1=S1=1.
n>=2时,an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1,a1=1适合此式,所以an=2n-1,n为正整数.
bn=an/3^n=(2n-1)/3^n.
Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+…+(2n-1)/3^n (1)
(1)/3得：Tn/3=1/3^2+3/3^3+5/3^4+…+(2n-1)/3^(n+1) (2)
(1)-(2)得：2Tn/3=1/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+…+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+2(1/3+1/3^2+1/3^3+…+1/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)
=-1/3+1-1/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
=2/3-2(n+1)/3^(n+1)
所以,Tn=1-(n+1)/3^n.