Question

极限高数问题。

若x1=a,y1=b(b>a>0),xn+1=xnyn^1/2,yn+1=(xn+yn)/2,试证明数列xn yn都收敛，而且有相同的极限（提示：xn<yn)。。。 收敛时候的单调性我都能分别判断，但有界真的没办法，刚才在百度上搜到一个类似的题是a>b>0，就能搞出来。 不知道是不是题的问题，求大神！！！

Answer 1

单调性我就不证明了，应该是xn单调递增，yn单调递减
而且xn<yn

∴a=x1<x2<......<xn<yn<y(n-1)<......<y1=b
即yn单调递减有下界为a，xn单调递增有上界为b
∴数列xn yn都收敛
令limxn=p limyn=q
则将所给2式均求极限得
p=(pq)^(1/2)
q=(p+q)/2
解得p=q
即二者极限相同