Question

函数可导则函数必然连续，但是为什么导函数存在则函数不一定连续？

导函数存在不就是左导数存在，右导数也存在，且二者相等吗。既然左右导数存在，那么不是说明左右可导吗。但是为什么函数不一定连续呢？
简单来说就是，函数在点a处导数存在，为什么函数是不一定连续呢？
求大神指点迷津。

Answer 1

从你的疑问，感觉你似乎 混淆了 在一点连续或可导 与 在一点的邻域区间连续或可导

如果函数在某点处可导，则一定在此点处连续。
同样， 如果函数在某区间可导，则一定在此区间连续。
但是，如果函数在某点处可导，则不一定在此点的邻域连续。

例如：

当 x为有理数时，f(x) =0
当x为无理数时， f(x)=x^2
可以根据定义验证： 此函数 在x=0处， 连续且可导。但在x=0 的任一邻域都不连续。

“导函数存在则函数不一定连续” 这句不正确。 导函数存在，通常指的是导数在一个区间存在，这样，函数在这个区间也连续。

“函数在点a处导数存在，为什么函数是不一定连续呢？”

函数在a处必连续，但不一定在a的邻域连续。如上例。

Answer 2

导函数存在的意思仅限于左导数存在，右导数存在，而不能说它二者相等。

Answer 3

分段函数就是特例