Question

求高手解答

已知fx=ax+b/x^2+1是定义在(负无穷,正无穷)内的函数,且满足f(1/2)=2/5。f（0）=0
，（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：函数f(x)在（-1,1）上是增函数。

Answer 1

(1)因为：f(1/2)=2/5
所以：a/2+b=1/2
因为：f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0，a=1
f(x)=x/(1+x^2)
(2)设-1<x1<x2<1,则：f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=(x2+x2x1^2-x1-x1x2^2)/(1+x2^2)(1+x1^2)
=(x1x2-1)(x1-x2)/[(1+x2^2)(1+x1^2)]
因为：-1<x1<x2<1；所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x2^2)(1+x1^2)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数
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