Question

高等数学里证明方程根的唯一性一般有什么方法？

Answer 1

例1[1]设函数f(x)在区间[0,1]上可微,且f'(x)≠1,0f(x)1(0≤x≤1).证明方程f(x)-x=0(1)在0与1之间只有一个实根.证明令函数F(x)=f(x)-x,则有F(0)F(1)0,又因F(x)在区间[0,1]上连续,由零点定理可知,存在η∈(0,1)使F(η)=0.因此方程(1)在0与1之间至少存在一个实根.不妨假设方程(1)在0与1之间还存在另一个实根θη.由于F(θ)=F(η),F(x)在[0,1]上可导,由罗尔中值定理可知,存在ξ∈(θ,η),使F'(ξ)=f'(ξ)-1=0.由此得出f′(ξ)=1,这与题设条件相矛盾.因此,方程(1)在0与1之间只有一个实根.方法2应用零点定理和函数的单调性判定方程有唯一实根 如果对你有帮助，请给有用，谢谢

追问

我们目前只学到初等函数。。。。。。。就是大一刚开始的数学分析

Answer 2

一般方法是，假设方程有两个根，最后证明它们相同的，就可以了。