Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x^2+2x,求f(0)值

若对任意t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(k-2t^2)<0恒成立，求实数k的取值范围
急啊，请大家帮帮忙

Answer 1

答：

f(x)是定义在R上奇函数，则有：
f(-x)=-f(x)

f(0)=0

因为：x>0时，f(x)=x^2+2x

所以：x<0时，-x>0，f(-x)=(-x)^2-2x=x^2-2x=-f(x)

所以：x<0时，f(x)=-x^2+2x

所以：f(x)在实数范围内是单调递增函数，图像见下图

对任意t属于R，f(t^2-2t)+f(k-2t^2)<0恒成立

f(t^2-2t)<-f(k-2t^2)=f(2t^2-k)恒成立

所以：t^2-2t<2t^2-k恒成立

t^2+2t-k>0恒成立

判别式=2^2+4k<0

k<-1

追问

那f(0)=0是如何算的呢?它给出的解析式是在x>0的情况下的啊？

追答

f(x)是定义在R上的奇函数：f(-x)=-f(x)
f(-0)=-f(0)
2f(0)=0
f(0)=0
知道x>0时的解析式就可以求出x<0时的解析式

追问

判别式为什么要小于0？是不是k<t^2+2t得出k<(t+1)^2-1,所以k要小于(t+1)^2-1的最小值？

追答

对的