Question

已知三角形ABC中，A，B，C所对边为a，b，c，且根号2acosB=ccosB=bcosC，求角B大小

Answer 1

解：

因为在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c
且b×cosC=3a×cosB-c×cosB
所以，b×cosC c×cosB=3a×cosB
因为a=b×cosC c×cosB
所以，a=3a×cosB
即cosB=3分之1
因为向量BA×向量BC=2
所以，∣向量BA∣×∣向量BC∣×cos<向量BA,向量BC>=2
因为∣向量BA∣=c，∣向量BC∣=a，<向量BA,向量BC>=∠B
所以，ac×cosB=2
即ac=6
因为由余弦定理，得
a^2 c^2-2ac×cosB=b^2
且b=2根号2
所以，a^2 c^2-4=8
即a^2 c^2=12
因为a^2 c^2=(a c)^2-2ac=(a c)^2-12
所以，(a c)^2-12=12
所以，(a c)^2=24
所以，a c=2根号6
因为ac=6
所以，a=c=根号6

附录：关于“在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，
a=b×cosC c×cosB”的证明过程
证明：过A作AD⊥BC于D
所以，CD=AC×cosC，BD=AB×cosB
因为AC=b，AB=c
所以，CD=b×cosC，BD=c×cosB
因为a=BC=CD BD
所以，a=b×cosC c×cosB