Question

正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此

正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是

Answer 1

首先提出一个公式，边长为 a 的正六边形的面积为（ 3√3/2）* a ^ 2
对于此类题，假设第一个正六边形的边长为 a ，面积为 （S1） （可由上面的公式求出），
那么第二个正六边形的边长为（√3/3）* a ， 面积为（S1）/3 ，
……
以此类推， 第 n 个正六边形的边长为 （√3/3）^(n-1)， 面积为 （1/3）^(n-1) * （S1）
所以所求的所有正六边形的面积和是
S1 + 1/3 * S1 + (1/3)^2 * S1 + …… + (1/3)^(n-1) * S1 = 3/2 * (1-(1/3)^n) * S1
此题的 S1 为 3√3/2 , 代入得 S总 = （3√3/4）* (1-(1/3)^n)