Question

函数y=xcosx在（-∞，+∞）内是否有界？这个函数是否为x→+∞时的无穷大？为什么？

这是我们大一的高数题。解答的时候最好多讲讲有界与无界的问题，还有无穷大的判断方法

Answer 1

x→＋∞时，f(x)是无穷大的定义是：对于任意大的正数M，存在正数X，对于任意的x＞X，恒有|f(x)|＞M。
分析：x很大时，始终存在使得cosx=0的x，所以|f(x)|＞M不可能恒成立。
把无穷大的定义否定，得到“不是无穷大”的定义：存在正数M，对于任意的正数X，存在x＞X，但是|f(x)|≤M。
过程：
对于正数M=1，不管正数X多大，存在正整数n，使得nπ+π/2＞X，但|f(nπ+π/2)|=0＜1。所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大。

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一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn，使得f(Xn)是无穷大，则f(x)无界。如果存在数列yn，使得f(yn)的极限有限，则f(x)不是无穷大。

Answer 2

用定义证明即可，答案如图所示

Answer 3

按照无穷大函数的定义.用反证法.假设xcosx是x→+∞时的无穷大.则对任意给定的正数f(m)（无论多么大），存在正数f(m)=|mcosm|，当x>m时，有|xcosx |>f(m)但是 ,无论X取何实数，|xcosx|>f(m)式不恒成立，因为|cosx|<1.因此假设不成立。所以xcosx不是x→+∞时的无穷大从数形结合解释。事实上,当x充分大时, xcosx的振幅充分大.当x→+∞时,它在振幅趋于充分大的状态下,上下震荡，而不趋于某一种状态。