Question

已知函数f（x）=ax²-丨x丨+2a-1，a为常数 各位大神求解答 解析

（1）若a=1，方程f（x）-m=0恰有四个不同的根，求实数m的取值范围。
（2）若函数f（x）在区间（1，+无穷）上是增函数，求实数a的取值范围
（3）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式

Answer 1

（1）a=1时,f(x)=x²-丨x丨+1
当x>=0时，f(x)=x²- x+1
又f（x）= f（-x）,为偶函数
所以f（x）-m=0在[0,+无穷)上有两个不同的跟
即x²- x+1-m=0在[0,+无穷)上有两个不同的跟
满足条件1-4（1-m）>0，且m不等于f(0)即可
所以当m在(3/4,1)以及(1, +无穷)区间时，方程f（x）-m=0恰有四个不同的根。
（2）当x在(1, +无穷)时，f‘（x）=2ax-1
又f（x）在(1, +无穷)上为增函数，
所以2ax-1>=0
a>=1/2x
当a>=1/2时，函数f（x）在区间(1, +无穷)上是增函数
（3）在区间[1，2]上，f‘（x）=2ax-1，f‘’（x）=2a
I．当a<1/4时，f‘（x）<0,为减函数
g(a)=f(2)=6a-3
II．当a>1/2时，f‘（x）>0,为增函数
g(a)=f(1)=3a-2
III．当1/4<=a<=1/2时，f‘（x）=0, f‘’（x）>0
当x=1/2a时，为极小值
g(a)=f(1/2a)=2a-1-1/4a