Question

一道概率论的题

设事件Ai（i=1,2,3……n）和B是具有正概率的事件，Ai、Aj互斥、且A1+A2+A3+……+An=S。若P(Ai)、P(B|Ai)已知，则（1）P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)+...+P(BAn)=1吗？（2）P(B|A1)+P(B|A2)+P(B|A3)+...+P(B|An)=1吗？
写错了、两个不是询问“等于1”、应该是询问“等于P(B)吗……

Answer 1

（1）ΣP（B·Ai）≡P（B）；
（2）ΣP（B｜Ai）取值不确定，取值范围：（0，n］；
它们的区别，其实就是事件同时发生的概率，与条件概率的区别。
　　其实，仅从相应的事件本身而言，它们并没有什么区别：都是B和Ai同时发生。它们真正的区别不是所描述的事件，而是确定该事件的“概率”所用的“样本空间”：
　　P（B·Ai）：事件Ai与B的交集，在样本空间S中的概率；
　　P（B｜Ai）：事件Ai与B的交集，在Ai中的概率；

（1）：你应该知道，｛Ai｝是S的一个划分：它将S划分为n个不相交的区域。所以：
　　P（ΣAi）＝P（S）＝1；
同理，｛B·Ai｝也构成了B的一个划分。因为B是S中的一部分，所以B的任何元素，都会分布到｛Ai｝上（当然，有些Ai可能不包含B的元素）。其实，这就相当于对B进行分类讨论：
　　B·A1：A1发生时，B的情况；
　　B·A2：A2发生时，B的情况；
　　…
　　B·An：An发生时，B的情况；
｛Ai｝包含了所有可能的情况，所以，上述的分析，就完成了对B的全面讨论——无重复、无遗漏。所以，它们各自概率的代数和，就是B自己的概率。

（2）：对于条件概率：还是上面所说的那n个事件：B·A1、B·A2…B·An；但现在所求的不是它们在S中的概率，而是它们在Ai上的概率。
　　由于Ai与B的关系是任意的，所以P（B｜Ai）的取值也是任意的，即：［0，1］。所以，n个这样的概率的和，其范围就是［0，n］。
　　又因为B自身的概率不是0，那么B在Ai中就至少出现一次，所以P（B｜Ai）不可能都是0，所以：
　　ΣP（B｜Ai）∈（0，n］。

同样是条件概率，P（Ai｜B）和P（B｜Ai）就有很大差别：
（3）：与（2）一样，P（Ai｜B）所讨论的基本事件还是Ai和B同时发生，但这个概率的样本空间却换成了B。
　　B是S的一部分，｛Ai｝能将S划分开，那么就更能将B划分开了——可能有很多Ai根本与B没有交集。
　　概率P（Ai｜B）就是Ai与B的交集，在B中所占的比例。所有的Ai·B，肯定就把整个B完全覆盖了。那么它们的概率之和，就是必然事件的概率：1.
　　ΣP（Ai｜B）
　＝Σ［P（Ai·B）／P（B）］
　＝［ΣP（Ai·B）］／P（B）
　＝P（B）／P（B）
　＝1.