一道概率论的题

设事件Ai(i=1,2,3……n)和B是具有正概率的事件,Ai、Aj互斥、且A1+A2+A3+……+An=S。若P(Ai)、P(B|Ai)已知,则(1)P(BA1)+P(... 设事件Ai(i=1,2,3……n)和B是具有正概率的事件,Ai、Aj互斥、且A1+A2+A3+……+An=S。若P(Ai)、P(B|Ai)已知,则(1)P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)+...+P(BAn)=1吗?(2)P(B|A1)+P(B|A2)+P(B|A3)+...+P(B|An)=1吗?
写错了、两个不是询问“等于1”、应该是询问“等于P(B)吗……
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2013-10-22 · TA获得超过5005个赞
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(1)ΣP(B·Ai)≡P(B);
(2)ΣP(B|Ai)取值不确定,取值范围:(0,n];
它们的区别,其实就是事件同时发生的概率,与条件概率的区别。
  其实,仅从相应的事件本身而言,它们并没有什么区别:都是B和Ai同时发生。它们真正的区别不是所描述的事件,而是确定该事件的“概率”所用的“样本空间”:
  P(B·Ai):事件Ai与B的交集,在样本空间S中的概率;
  P(B|Ai):事件Ai与B的交集,在Ai中的概率;

(1):你应该知道,{Ai}是S的一个划分:它将S划分为n个不相交的区域。所以:
  P(ΣAi)=P(S)=1;
同理,{B·Ai}也构成了B的一个划分。因为B是S中的一部分,所以B的任何元素,都会分布到{Ai}上(当然,有些Ai可能不包含B的元素)。其实,这就相当于对B进行分类讨论:
  B·A1:A1发生时,B的情况;
  B·A2:A2发生时,B的情况;
  …
  B·An:An发生时,B的情况;
{Ai}包含了所有可能的情况,所以,上述的分析,就完成了对B的全面讨论——无重复、无遗漏。所以,它们各自概率的代数和,就是B自己的概率。

(2):对于条件概率:还是上面所说的那n个事件:B·A1、B·A2…B·An;但现在所求的不是它们在S中的概率,而是它们在Ai上的概率。
  由于Ai与B的关系是任意的,所以P(B|Ai)的取值也是任意的,即:[0,1]。所以,n个这样的概率的和,其范围就是[0,n]。
  又因为B自身的概率不是0,那么B在Ai中就至少出现一次,所以P(B|Ai)不可能都是0,所以:
  ΣP(B|Ai)∈(0,n]。

同样是条件概率,P(Ai|B)和P(B|Ai)就有很大差别:
(3):与(2)一样,P(Ai|B)所讨论的基本事件还是Ai和B同时发生,但这个概率的样本空间却换成了B。
  B是S的一部分,{Ai}能将S划分开,那么就更能将B划分开了——可能有很多Ai根本与B没有交集。
  概率P(Ai|B)就是Ai与B的交集,在B中所占的比例。所有的Ai·B,肯定就把整个B完全覆盖了。那么它们的概率之和,就是必然事件的概率:1.
  ΣP(Ai|B)
 =Σ[P(Ai·B)/P(B)]
 =[ΣP(Ai·B)]/P(B)
 =P(B)/P(B)
 =1.
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