Question

微积分极限 函数极限与数列极限的关系定理，老师说用来证明极限不存在的，不明白这个定理讲的是什么意

微积分极限 函数极限与数列极限的关系定理，老师说用来证明极限不存在的，不明白这个定理讲的是什么意思，谁能用白话说一下？

Answer 1

简单地说，把函数极限看成老子，它有无数多个儿子，老子都收敛于A，儿子也都收敛于A；所以如果有一个儿子不乖，不收敛；或者有两个儿子都收敛但极限不同，那么老子一定不收敛

追问

你说的这个我明白，但是定理讲的不是这个啊

什么xn不等于xo的

追答

嗯，xn不能等于x0，极限与函数在x0处的函数值无关的，最极端的情形是函数f(x)在x0处没有意义，例如lim{x->0}(x²/x}，而xn=x0，这显然是不行的。

定理本身常用来证明极限不存在的，例如证明极限lim{x->0}sin(1/x)不存在, 那么我们可以找两个数列都以0为极限：xn=1/2nπ, yn=1/(2nπ+π/2), 它们都不等于0, 且lim{n->∞}}sin(1/xn)=0而lim{n->∞}}sin(1/yn)=1, 两个极限不同, 所以原来的函数极限不存在.