Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB等于90度，CD垂直AB于D，设AC等于b，BC等于a，AB等

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB等于90度，CD垂直AB于D，设AC等于b，BC等于a，AB等于c，CD等于h。求证

Answer 1

1、利用面积公式得到:(1/2)*c*h=(1/2)*a*b => ab=ch => a^2*b^2=c^2*h^2
分别用1除以左右两式得：
1/(a^2*b^2)=1/(c^2*h^2)
两边同乘以c^2的c^2/(a^2*b^2)=1/h^2
c^2=a^2+b^2代入上式左边得
(a^2+b^2)/(a^2*b^2)=1/h^2
即1/a^2+1/b^2=1/h^2

2、三角形面积S=a*b/2=c*h/2
所以a*b=c*h；------1式
c^2<c^2+h^2
a^2+b^2=c^2
a^2+b^2<c^2+h^2
由1式
a^2+b^2+2a*b<c^2+h^2+2c*h
(a+b)^2<(c+h)^2
所以a+b<c+h

3、是直角三角形。
证明：(a+b)²=a²+b²+2ab=c²+2ab
(c+h)²=c²+h²+2ch
而2ab=4S△ABC=2ch
所以 (c+h)²=h²+(a+b)²
故以 a+b,h,c+h 为边的三角形是斜边长为 c+h 的直角三角形。