Question

求函数的定义域和值域

fx=（1/2） 1/-x²+2x+3
1/2为底数， 1/-x²+2x+3为指数

Answer 1

原函数可拆成：
y=(1/2)^t (^是t次方的意思)
t=1/(-x^2+2x+3)
要使函数有意义必须：
(-x^2+2x+3)≠0，即，
(-x+3)(x+1)≠0
x≠-1,且x=3,
以下是判别式法求函数t(x)的值域：
t=1/(-x^2+2x+3)
(-x^2+2x+3)=1/t
x^2-2x+[(1/t)-3]=0
因为关于x的方程有解，所以，
Δ=4-4(1/t-3)≥0
1/t-3≤1
1/t-4≤0
(1-4t)/t≤0
t(t-1/4)≥0
t≥1/4,或t≤0,
因为t≠0.
所以，函数t(x)的值域即函数y(t)的定义域为：
t∈(-∞,0)∪[1/4,+∞)
以下是求原函数的值域：
函数y(t)=(1/2)^t是减函数，
(1)
当t<0时，y>y(0)=1
(2)当t≥1/4时，y≤y(1/4)=(1/2)^(1/4)=1/(⁴√2)
所以原函数的值域为：
(0,⁴√2]∪(1,+∞)

Answer 2

你好！

- x² +2x+3 ≠ 0
- (x+1)(x-3) ≠ 0
定义域 { x | x≠ -1 且 x≠3 }

- x² + 2x + 3
= - (x-1)² + 4
≤ 4
∴ 1/(-x²+2x+3) < 0 或 1/(-x²+2x+3) ≥ 1/4
f(x) > 1 或 0 < f(x) ≤ (1/2)^(1/4)
即值域为 （0，(1/2)^(1/4) ] ∪ (1,+∞)