Question

3、已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合。

3、已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 2

（1）设三角形BQE的面积为y，求y与x的函数解析式
应该是y与t的函数解析式
在Rt△DEF中由勾股定理可以得到：DF^2=DE^2+EF^2=36+64=100
所以，DF=10
同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°
所以，△ABC为等腰直角三角形
已知BC=9
所以，AB=AC=(9√2)/2
点P的移动速度是3cm/s，则它移动到D点需要的时间是10/3s
点E的移动速度是1cm/s，则在10/3s内移动的距离是10/3cm＜9/2
所以：当点P移动到终点停止时，点E还没有运动到BC中点，也就是说DE还没有过A点移动到A的左侧

已知CE=t，DE⊥BC，且∠ACB=45°
所以，△QEC也是等腰直角三角形
所以，QE=CE=t
那么，BE=BC-CE=9-t
所以，△BQE的面积y=(1/2)*BE*QE=(1/2)*(9-t)*t
=(-1/2)(t^2-9t)（0≤t≤10/3）

（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形
由前面知，点P的移动速度为3cm/s
则，PF=3t
所以，DP=DF-PF=10-3t
又，DQ=DE-QE=6-t
已知在Rt△DEF中，DE=6，DF=10
所以，cos∠D=DE/DF=6/10=3/5
所以，在△DPQ中由余弦定理得到：
PQ^2=DP^2+DQ^2-2DP*DQ*cos∠D
=(10-3t)^2+(6-t)^2-2*(10-3t)*(6-t)*(3/5)
=100-60t+9t^2+36-12t+t^2-(6/5)(3t^2-28t+60)
=10t^2-72t+136-(18/5)t^2+(168/5)t-72
=(32/5)t^2-(192/5)t+64
△DPQ为等腰三角形：
①若DP=DQ
即，10-3t=6-t
===> t=2s
②若DP=PQ，则DP^2=PQ^2
即，(10-3t)^2=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> 100-60t+9t^2=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> (13/5)t^2-(108/5)t+36=0
===> 13t^2-108t+180=0
===> (t-6)(13t-30)=0
===> t1=6（t=6＞10/3，舍去），或者t2=30/13
所以，t=30/13
③当DQ=PQ时，则DQ^2=PQ^2
即，(6-t)^2=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> t^2-12t+36=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> (27/5)t^2-(132/5)t+18=0
===> 27t^2-132t+90=0
===> t=(132±6√214)/54
其中，t=(132+6√214)/54＞10/3，舍去
所以，t=(132-6√214)/54

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一直线上？若存在，请求出此时t的值，若不在，请说明理由
由前面知，△DPQ中，DP=10-3t，DQ=6-t
当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为O
则PO//BE
所以，DP/DF=PO/EF
===> (10-3t)/10=PO/8
===> PO=(4/5)*(10-3t)
同理，DO/DE=DP/DF
===> DO/6=(10-3t)/10
===> DO=(3/5)*(10-3t)
而，DQ=6-t
所以，OQ=DQ-DO=(6-t)-(3/5)*(10-3t)=6-t-6+(9/5)t=(4/5)t
因为OP//BE
所以，OP/BE=OQ/EQ
===> (4/5)(10-3t)/(9-t)=(4/5)t/t
===> 10-3t=9-t
===> t=1/2
即，t=1/2s时，点B、Q、P在同一直线上