Question

一道高中数学导数题，求解

f（x）=x3+3ax2+3x+1，若x∈[2，+∞﹚时，f（x）≥0，求a的取值范围

Answer 1

x∈[2,∞)，f(x)≥0，即x³+3ax²+3x+1>=0，即x+3/x+1/x²>=-3a
即x∈[2,∞)时，-3a<=x+3/x+1/x²恒成立，求x+3/x+1/x²在[2,∞)的最小值即可。
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3x-2)/x³
下面我们证g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立，也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立。
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立，所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数，所以h(x)>=h(2)=0，也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立，
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立，g(x)在x∈[2,∞)为增函数，
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4，
所以-3a<=(2)=15/4，
得a>=-5/4

Answer 2

f'(x)=3x*2+6ax+3=3(x*2+2ax+1)≥0,得x*2+2ax+1≥0，两边除以x(因为x≥2），得a≥-(x+1/x)/2,令g(x)=-(x+1/x)/2(x≥2）,再求导得g'(x)=(1-x*2)/2x*2,知g'(x)小于0，所以g(x)递减，所以g(x)最大值=g(2)=-5/4,得a≥-5/4