Question

求函数项级数的收敛区域。

Answer 1

　　对于函数项级数来说，其收敛域一般通过比值法进行求解，即当n→∞时，一般项的后一项与前一项的比值的绝对值的极限小于1，lim|a(n+1)/an|<1，由此可以得到|x-a|<b的形式，去掉绝对值即a-b<x<a+b。那么b称为级数的收敛半径，区间(a-b,a+b)即为该函数的收敛区间，如果要求其收敛域，则还需要将端点值x=a-b和x=a+b带入到原级数中，进行判断。
　　举例如下，求级数n=0→∞时，∑(-3x)^n/(2n+1)的收敛域。
　　an=(-3x)^n/(2n+1)，a(n+1)=(-3x)^(n+1)/(2n+3)，则n→∞时，lim|a(n+1)/an|=lim|-3x*(2n+1)/(2n+3)|=3|x|<1，得到-1/3<x<1/3，则原级数的收敛区间即(-1/3,1/3)。
　　当x=-1/3时，带入到原级数中，则变成了∑1/(2n+1)，与调和级数同阶，因此发散。
　　当x=1/3时，带入到原级数中，则变成了∑(-1)^n/(2n+1)，交错级数，且一般项单调递减，因此收敛。
　　综上原级数的收敛域为(-1/3,1/3]

Answer 2