Question

求函数f(x)=lnx按（x-2)的幂展开带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

Answer 1

f＇（x）＝1／x，

f＇＇（x）＝－1／（x＾2）

fn＇（x）＝（－1）＾（n＋1）·（n－1）！·x＾（－n）

lnx＝ln2（1＋（x－2）／2）=ln2＋（x－2）／2－（（x－2）＾2）／2！·4＋．．．＋（－1）＾（n＋1）！·2＾（－n）（x－2）＾n／n！＋ o［（（x－2）＾n）］

扩展资料：

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项。

由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

Answer 2

可以考虑泰勒公式，答案如图所示

Answer 3

f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2/2!+......+fn阶倒数(2)(x-2)^n/n!+o(x^n)=ln2+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+......+(-1)^(n-1)/(n*2^n)*(x-2)^n+o(x^n)