Question

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b（1）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
（2）若函数f(x)的区间(－1, 1)上不单调，求a的取值范围． （2）为什么a不等于-a+2/3

Answer 1

原函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b（1）f(0)=0，得b=0 导数 f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)， 即 f'(0)=-a(a+2)=-3，得 a=1或a= -3 (2) f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)] 即x1=a或-(a+2)/3 ① 当 a=-1/2时， f'(x)>=0恒成立，即 f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b 在（负无穷，正无穷）单调递增； ② 当 a<-1/2时， a< -(a+2)/3， -1<a<1 或 -1<(a+2)/3<1，得 -5<a<-1/2； ③ 当 a>-1/2时， a> -(a+2)/3， -1<a<1 或 -1<(a+2)/3<1，得 -1/2<a<1； 综上可得 ： a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝

Answer 2

已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b ^表示次方 1）函数f(x)的图象过原点，那么f(0)=0 所以0=0+b b=0 f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2) f'(0)=-a(a+2)=-3 （a+3）（a-1）=0 所以a=1或者-3 综上b=0 a=1或者-3 2） 据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内， 由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)], 　 a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3, ①a=-1/2时，f(x)严格单调增加 ②-1<x1<1，即 -1<a<1； ③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1， 　 综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝