Question

如图，角AOB=30度，OC是角AOB的平分线，点E在边OB上，且OE=10厘米，点F是OB上的动

如图，角AOB=30度，OC是角AOB的平分线，点E在边OB上，且OE=10厘米，点F是OB上的动点(不与点E重合)，点P是OC上的动点，求PE+PF的最小值。

Answer 1

在OA上取一点G，使OG=OF,连接PG、GE
由于OC是角AOB的平分线，易证得△OGP≌△OFP,所以 PF=PG。
所以PE+PF=PE+PG
根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为GE与OC的交点时，PG＋PE的最小值为GE，即PG＋PE≥GE
因为点到直线的最小距离为垂线，所以当GE和OA垂直时，GE最短，即GE=OE*Sin（30°）=5

PG＋PE的最小值为5

Answer 2

• 过E作EQ⊥OC于R，交OA于Q，过Q作QF⊥OB于F，交OC于P，
  则P为所求，
  ∵OC平分∠AOB，
  ∴∠ROQ=∠ROE，
  ∵EQ⊥OC，∴∠ORQ=∠ORE，
  又OR=OR，
  ∴ΔORQ≌ΔORE，
  ∴OQ=OE=10，
  在RTΔOQF中，∠QOF=30°，∴QF=1/2OQ=5，
  ∴PE+PF最小=5。