Question

急求斐波那契数列通项公式证明方法（非特征根法）

可以是数学归纳法

Answer 1

　　通项公式的推导方法二：普通方法 　　设常数r，s 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　则r+s=1， -rs=1 　　n≥3时，有 　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] 　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] 　　…… 　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 　　将以上n-2个式子相乘，得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] 　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 　　上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) 　　…… 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) 　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和） 　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) 　　=(s^n - r^n)/(s-r) 　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2 　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

Answer 2

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}