Question

图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC,OA分别与x轴,y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°∠BCO=45°

Answer 1

解：（1）如答图1，过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=12，
∴CF=BF=12．
∵C 的坐标为（﹣18，0），
∴AB=OF=6，
∴点B的坐标为（﹣6，12）；
（2）如答图1，过点D作DG⊥y轴于点G，
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∵，AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8，
∴D（﹣4，8），E（0，4），
设直线DE的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∴，解得：，
∴直线DE的解析式为：y=﹣x+4；
（3）结论：存在．
设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，
则E（0，4），F（4，0），
OE=OF=4，EF=4．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E= 4﹣4．
易知△P1NF为等腰直角三角形，
∴P1N=NF=P1F=4﹣2；
设P1Q1交x轴于点N，
则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，
又ON=OF﹣NF= 2，
∴Q1（2，﹣2）；
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．
此时Q2与Q1关于原点对称，
∴Q2（﹣2，2）；
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，
∴Q3（4，4）；
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，
代入直线解析式y=﹣x+4，得P4横坐标为2，
则P4（2，2），
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，
∴Q4（﹣2，2）．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q1（2，﹣2），
Q2（﹣2，2），
Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．