Question

高二数学必修5等差数列练习题

已知函数f(x)=x/3x+1,数列（an）满足a1=1,an+1=f(an)(n属于N+)
1. 求数列（an）的通项公式
2. 记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn

Answer 1

（1）本题考查等差数列的性质。
a(n+1)=f(an)=an/(3an+1)
1/a(n+1)=1/an+3,1/a1=1.
显然，数列{1/an}是首项为1，公差为3的等差数列。
从而有1/an=1/a1+(n-1)d=3n-2，故an=1/(3n-2)。
综上，数列{an}的通项公式为an=1/(3n-2)。

（2）本题考查裂项相消求和法。
an×a(n+1)=1/(3n-2)(3n+1)=1/3×(1/(3n-2)-1/(3n+1)）
Sn=1/3×（1-1/4+1/4-1/7+...+1/(3n-2)-1/(3n+1))
=1/3×(1-1/(3n+1))
=n/(3n+1)
综上，Sn=n/(3n+1)。