Question

一道宏观经济学题目（来自曼昆版宏经第七版，网上找不到答案）

两个国家，Richland和Poorland，由索洛增长模型来描述。它们有相同的柯布-道格拉斯生产函数，F(K，L)=AK^αL^(1-α)，但是资本量和劳动量不同。Richland储蓄其收入的32%，Poorland储蓄10%。Richland的人口增长率每年为1%，Poorland的人口增长率为3%（本问题的数字的选取近似为对富国和穷国的现实性描述。）两国的技术进步率均为每年2%，折旧率均为每年5%。
a.人均生产函数f(k)是什么？
b.解出Richland的稳定状态人均收入与Poorland的稳定状态人均收入的比率。（提示：参数α在你的答案中将扮演一个角色。）
c.如果柯布-道格拉斯参数α为常用值约1/3，Richland的人均收入与Poorland相比应当高多少？
d.Richland的人均收入实际上是Poorland人均收入的16倍。你能通过改变参数α的值来解释这一事实吗？你可能用什么其他方法来解释该参数这一取值的适当性吗？Richland与Poorland之间巨大的收入差距。

Answer 1

a、人均生产函数: f(k)=A(K/L)^a=Ak^a
b、稳态收入
基本的经济关系：储蓄与收入——S＝sY＝sF(K,L)
资本存量与折旧和投资（储蓄）——dK/dt＝I-折旧率＊K
＝S-折旧率＊K
稳态的条件：人均资本增长率＝0
令f（k）＝y 对人均生产函数两边取ln，再对时间求导，可得
(dy/dt)/y=(dA/dt)/A+a*(dk/dt)/k
经济的稳定条件为(dk/dt)/k=0
因为(dk/dt)/k=［d(K/L)/dt]/(K/L)={[dK/dt*L-dL/dt*K]/L^2}*(L/K)=(dK/dt)/K-(dL/dt)/L
其中(dK/dt)/K＝S／K-折旧率＝sy/k-折旧率。表示资本的增长率
(dL/dt)/L＝人口的增长率
利用稳定条件，可得
sy／k -折旧率－人口增长率＝0
将y=f(k)=Ak^a，代入上式，可得：
s*A*k^(a-1)-折旧率-人口增长率＝0
解出k=［(折旧率＋人口增长率）／s］^[(1/(a-1)]
所以稳态的人均产出为y＝f(k)=A*k^a=A*［(折旧率＋人口增长率）／s］^[(a/(a-1)]
富国的人均产出为y(R)=A(R)*[(5%+1%)/33%]^[a/(1-a)]
穷国的人均产出为y(P)=A(P)*[(5%+3%)/10%]^[a/(1-a)]
由此可以计算人均收入的比值（人均收入就是人均产出）＝［A(R)/A(P)]*(5/22)^[a/(a-1)]
c、将a＝1/3代入人均产出公式可计算具体的比值（仍然是A的函数）=［A(R)/A(P)]*2.1
d、可以令两国的A相等，看a的不同取值能否使人均产出比值达到16，测试后会发现这需要a>0.65。因此产出的差距可能在于技术水平A，因为大家的技术进步速度相同，所以技术的初始水平可能是产出差距的主要原因