Question

高三数学22题，要详细解答，拜求各位大神。。。特别是第二问。

Answer 1

(1)f'(x)=(1-lnx)/x²,x∈(0,+无穷）
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f(e)=lne/e=1/e
∵f(x)≤M恒成立，∴M≥f(x)max=1/e
∴Mmin=1/e

(2)对任意x1,x2∈(0,2)且x1＜x2,已知存在x0∈(x1,x2)使得f'(x0)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
∵f'(x0)=(1-lnx0)/x0²
∴(1-lnxo)(x2-x1)/x0²-[f(x2)-f(x1)]=0
令F(x)=(1-lnx)(x2-x1)/x²-[f(x2)-f(x1)],
F'(x)=(2lnx-3)(x2-x1)/x³,x∈(0,2)
2lnx-3＜2ln2-3＜0,x2-x1＞0
∴F'(x)＜0恒成立
∴F(x)在（0,2）上单调递减，其中F(x0)=0........................即证F(√x1x2)＜0=F(x0)
F（√x1x2)=(1-ln√x1x2)(x2-x1)/(x1x2)-[f(x2)-f(x1)]
=（1-ln√x1x2)(1/x1-1/x2)-lnx2/x2+lnx1/x1
=1/x1[1+ln√(x1/x2)]-1/x2[1-ln√(x1/x2)]
设t=x1/x2＜1,∴F(√x1x2)=1/x1(1+1/2lnt-t+1/2tlnt)
设g(t)=1+1/2lnt-t+1/2tlnt
∴g'(t)=1/2t-1+1/2(lnt+1)=1/2(1/t+lnt)-1/2
设h(t)=1/t+lnt
h'(t)=-1/t²+1/t=(t-1)/t²＜0
∴h(t)在(0,1)上单减
∴h(t)＞h(1)=1+0=1
∴g'(t)=1/2h(t)-1/2＞0
∴g(t)在（0,1）上单增
g(t)＜g(1)=0
∴F(√x1x2)=1/x1g(t)＜0=F(x0)
∵F(x)在（0,2）上单调递减
∴x0＜√x1x2

追问

F'(x)=(2lnx-3)(x2-x1)/x³,x∈(0,2)
2lnx-3＜2ln2-3＜0,x2-x1＞0？？？

F'(x)=(2lnx-1)(x2-x1)/x³啊！！

追答

很明确的告诉你，你算错了

很明确的告诉你，你算错了

追问

是我算错，老师完美。谢谢！！！永远记住您！！！！