高三数学22题,要详细解答,拜求各位大神。。。特别是第二问。
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(1)f'(x)=(1-lnx)/x²,x∈(0,+无穷)
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
∴函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(e)=lne/e=1/e
∵f(x)≤M恒成立,∴M≥f(x)max=1/e
∴Mmin=1/e
(2)对任意x1,x2∈(0,2)且x1<x2,已知存在x0∈(x1,x2)使得f'(x0)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
∵f'(x0)=(1-lnx0)/x0²
∴(1-lnxo)(x2-x1)/x0²-[f(x2)-f(x1)]=0
令F(x)=(1-lnx)(x2-x1)/x²-[f(x2)-f(x1)],
F'(x)=(2lnx-3)(x2-x1)/x³,x∈(0,2)
2lnx-3<2ln2-3<0,x2-x1>0
∴F'(x)<0恒成立
∴F(x)在(0,2)上单调递减,其中F(x0)=0........................即证F(√x1x2)<0=F(x0)
F(√x1x2)=(1-ln√x1x2)(x2-x1)/(x1x2)-[f(x2)-f(x1)]
=(1-ln√x1x2)(1/x1-1/x2)-lnx2/x2+lnx1/x1
=1/x1[1+ln√(x1/x2)]-1/x2[1-ln√(x1/x2)]
设t=x1/x2<1,∴F(√x1x2)=1/x1(1+1/2lnt-t+1/2tlnt)
设g(t)=1+1/2lnt-t+1/2tlnt
∴g'(t)=1/2t-1+1/2(lnt+1)=1/2(1/t+lnt)-1/2
设h(t)=1/t+lnt
h'(t)=-1/t²+1/t=(t-1)/t²<0
∴h(t)在(0,1)上单减
∴h(t)>h(1)=1+0=1
∴g'(t)=1/2h(t)-1/2>0
∴g(t)在(0,1)上单增
g(t)<g(1)=0
∴F(√x1x2)=1/x1g(t)<0=F(x0)
∵F(x)在(0,2)上单调递减
∴x0<√x1x2
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
∴函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(e)=lne/e=1/e
∵f(x)≤M恒成立,∴M≥f(x)max=1/e
∴Mmin=1/e
(2)对任意x1,x2∈(0,2)且x1<x2,已知存在x0∈(x1,x2)使得f'(x0)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
∵f'(x0)=(1-lnx0)/x0²
∴(1-lnxo)(x2-x1)/x0²-[f(x2)-f(x1)]=0
令F(x)=(1-lnx)(x2-x1)/x²-[f(x2)-f(x1)],
F'(x)=(2lnx-3)(x2-x1)/x³,x∈(0,2)
2lnx-3<2ln2-3<0,x2-x1>0
∴F'(x)<0恒成立
∴F(x)在(0,2)上单调递减,其中F(x0)=0........................即证F(√x1x2)<0=F(x0)
F(√x1x2)=(1-ln√x1x2)(x2-x1)/(x1x2)-[f(x2)-f(x1)]
=(1-ln√x1x2)(1/x1-1/x2)-lnx2/x2+lnx1/x1
=1/x1[1+ln√(x1/x2)]-1/x2[1-ln√(x1/x2)]
设t=x1/x2<1,∴F(√x1x2)=1/x1(1+1/2lnt-t+1/2tlnt)
设g(t)=1+1/2lnt-t+1/2tlnt
∴g'(t)=1/2t-1+1/2(lnt+1)=1/2(1/t+lnt)-1/2
设h(t)=1/t+lnt
h'(t)=-1/t²+1/t=(t-1)/t²<0
∴h(t)在(0,1)上单减
∴h(t)>h(1)=1+0=1
∴g'(t)=1/2h(t)-1/2>0
∴g(t)在(0,1)上单增
g(t)<g(1)=0
∴F(√x1x2)=1/x1g(t)<0=F(x0)
∵F(x)在(0,2)上单调递减
∴x0<√x1x2
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追问
F'(x)=(2lnx-3)(x2-x1)/x³,x∈(0,2)
2lnx-3<2ln2-3<0,x2-x1>0???
F'(x)=(2lnx-1)(x2-x1)/x³啊!!
追答
很明确的告诉你,你算错了
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