Question

矩阵的特征值可以理解为经过线性变换后拉伸向量的倍数，当特征值为0时，怎么解释这个几何意义？

Answer 1

怎么没有拉伸含义。。。如果把矩阵看作是线性映射的话，那么特征向量在这个映射下，方向不变，长度被拉长或缩短，这个是对的！如果特征值为0，就说明这个方向上的向量在影射后被映射到0，也就是说这个向量位于映射的零空间里。

几何上可以理解为投影，比如二维向量向x轴投影，这个是个线性映射，矩阵可以表示为[1, 0; 0, 0]，有两个特征向量，一个是x单位向量，特征值是1，另一个特征值是0，也就是没了。。

所以特征值是0就代表映射之后，这个方向分量没了，也就是说0特征值对应“向其他不为零的特征向量上做投影”这样一个几何意义，不知道这么说你能不能理解。

追问

说的很好，启发了我，但是你说的“0特征值对应“向其他不为零的特征向量上做投影”是什么意思？向x轴投影是矩阵对应的线性变换要求的，而不应是向另一个特征向量做投影吧，这两个特征向量正交只是一种巧合吧，特征值虽然不同，但矩阵不是对称阵。

追答

特征值对应的向量一定是正交的，你记不记得对角化的时候，最后出来的那个相似变换矩阵是个正交矩阵？

Answer 2

特征值是对应特征向量的，确实可以理解为该特征向量经线性变换后拉伸向量的倍数。当特征值为0时，可以理解为其对应的特征向量经线性变换后为零向量。即：如果x1是Ax=λx的特征值为0的特征向量，即有Ax1=0。其实也可以说x1是齐次线性方程Ax=0的一个解。

Answer 3

似乎没有所谓拉伸的含义，它就是一个满足Ax=ax的数而已，可以把矩阵乘法变为一个普通向量数乘。没其他几何意义

追问

拉伸几倍都可以理解，拉伸0倍什么意思？把特征向量拉伸0倍，通过一个矩阵乘法，或者说是线性变换后向量就变成了0向量？几何意义怎么解释？

追答

我根本没有说过“拉伸”的概念，这是你自己提的。如果你一定要说拉伸，当然也包含压缩，压缩到0也是一种压缩