Question

求极限，高等数学。求解答。

Answer 1

求极限

lim(x->0)[√（1+tanx)-√（1+sinx)]/[x√（1+sin²x)-x]

 

解法一：

先分子有理化：[√(1+tanx)-√(1+sinx)]＝(tanx-sinx) / [√(1+tanx)+√(1+sinx)]，

同理分母中的√(1+sinx^2)-1可有理化为：√(1+sinx^2)-1＝sinx^2 / [√(1+sinx^2)+1]。

[√(1+tanx)+√(1+sinx)]与 / [√(1+sinx^2)+1]的极限都存在，都是2，先计算出来，

所以原极限化为：

原式＝lim(x→0) (tanx-sinx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) tanx(1-cosx)/(xsinx^2)＝lim(x→0) x(1/2*x^2)/(x*x^2)＝1/2.

这里用了等价无穷小

 

 

解法二：

第一步是分子有理化，第二步是提取tanx和x，第三步是三个无穷小代换，两个括号里的和tanx都可以无穷小代换。

 

 

第二行分母的变换1/2sinx^2

 

 

 

也是无穷小代换，当x﹣＞0时