Question

三次方求和公式的证明

Answer 1

是求1³+2³+...+n³?
至少有三种方法.
1. 由(n+1)^4-n^4 = 4n³+6n²+4n+1.
n^4-(n-1)^4 = 4(n-1)³+6(n-1)²+4(n-1)+1
(n-1)^4-(n-2)^4 = 4(n-2)³+6(n-2)²+4(n-2)+1
...
2^4-1 = 4·1³+6·1²+4·1+1
求和得(n+1)^4-1 = 4S_3+6S_2+4S_1+n.
只要代入二次方和S_2与一次方和S_1的公式, 就能求出三次方和S_3的公式.

2. 首先有几个恒等式:
1+2+...+n = n(n+1)/2. (可以裂项2k = k(k+1)-(k-1)k证明).
1×2+2×3+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3. (可以裂项3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)证明).
1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4. (类似裂项证明).
n³ = n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n, 求和即得.

3. 图形法. 考虑以1+2+...+n为边长的正方形.
从左上角开始, 将图形分割如下.
1 2 2 3 3 3 4 4 4 4
2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1个边长1正方形, 1+(1/2)·2个边长2正方形, 3个边长3正方形, 3+(1/2)·2个边长4正方形, ...
1³+2³+...+n³ = (1+2+...+n)² = n²(n+1)²/4.

除此之外还有待定系数加数学归纳法, 还有母函数方法等.

Answer 2

当n=k+1时，
1^3+ 2^3+···+k^3+(k+1)^3
=(1+2+3···+k)^2+(k+1)^3
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3 运用等差数列求和公式
=(k+1)^2(k^2/4+k+1)
=(k+1)^2(k+1+1)^2/4 反用等差数列求和公式
=(1+2+3+...+k+1)^2