Question

如图，以bc为直径的圆o1与圆o2外切，圆o1与圆o2的外公切线交于点d，且角adc等于60度，过

如图，以bc为直径的圆o1与圆o2外切，圆o1与圆o2的外公切线交于点d，且角adc等于60度，过b点的圆o1的切线交其中一条外公切线于点a，若圆o2面积为π，则四边形abcd的面积是。。。

Answer 1

提示；连结O1O2，
设⊙O1与DA切于E，连结O1E ，则O1E⊥DA，
⊙O2与DA切于F，连结O2F，则O1F⊥DA，
过O1作O1G⊥02F，
因为⊙O1的面积为π，
因此⊙O1的半径为r1＝1，
设⊙O2的半径为r2，
在Rt⊿O1O2G中
r1＝1，∠O2O1G＝1／2×60º＝30º，
易求得r2＝3，
从而DC＝DF＝3√3，AB＝AF＝√3；
进而求得四边形ABCD的面积为12√3。

追问

谢谢

Answer 2

解：∵⊙O₂的面积为π，设⊙O₂的半径是r，
则π×r²=π
∴⊙O₂的半径是1，
∵AB和AH是⊙O₁的切线，
∴AB=AH，
设⊙O₁的半径是R，
连接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，
∵⊙O₁与⊙O₂外切，⊙O₁与⊙O₂的外公切线DC、DA，∠ADC=60°，
∴D、O₂、O₁三点共线，∠CDO₁=30°，
∴∠DAO₁=60°，∠O₂EC=∠ECF=∠CFO₂=90°，
∴四边形CFO₂E是矩形，
∴O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，
∴DO₂=2O₂E=2，∠HAO₁=60°，
∵O₁O₂=2O₁F（在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半），
又∵O₁F=R-1，O₁O₂=R+1，
∴R+1=2（R-1），
解得：R=3，
即DO₁=2+1+3=6，
在Rt△CDO₁中，由勾股定理得：CD=3√3

∵∠HO₁A=90°-60°=30°，HO₁=3，

∴AH=√3=AB

∴四边形ABCD的面积是：1/2 ×（AB+CD）× BC = 1/2 ×（√3 + 3√3 ) ×（3+3）=12√3

故答案为：12√3.