Question

【初二数学】在△ABC中，AB=AC，边BC的中点为D。作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上。

1. EF与BC平行吗？请证明。要步骤要理由。 2. 是否有可能等边三角形EF与BC不平行？请说出∠A的度数，说明理由。

Answer 1

解：
⑴作法：在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF
则三角形DEF就是所要求作的等边三角形
⑵平行。理由：
因为AB＝AC
所以∠B＝∠C
因为D是BC中点
所以BD＝CD
因为∠BDE＝∠CDF＝60度
所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度
所以DE＝DF
所以三角形DEF是等边三角形
所以∠BDE＝∠DEF＝60度
所以EF//BC
⑶可能。∠A＝120度
证明要点：
因为EF与BC不平行，
所以AE≠AF，不妨设AE＞AF
过F作FG//BC，交AB于G，连接DG
容易证明△BDG≌△CDF
所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD
由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE
所以∠DEG＝∠CFD
所以A、E、D、F四点共圆
所以∠A＋∠EDF＝180度
所以∠A＝120度

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