Question

定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y 恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)= -2/3

1、求证f（x）为奇函数2、f（x）在R上减函数3、函数在【-3.3】上的值域

Answer 1

函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0时f（x）＜0f(1)=-2/3-----------(1)对任意的实数x, f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)+f(0)f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)即f(0)=0则f(-x)=-f(x)函数是奇函数(2)对任意的x1、x2∈R,设x1<x2f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)那么f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)∵x2-x1>0∴f(x2-x1)<0∴f(x2)-f(x1)<0即f(x1)>f(x2)所以函数在R上的减函数（3）函数在R上是减函数，那么在区间[-3，3]上，函数也是减函数所以在[-3，3]上，函数的最大值是f(-3),最小值是f(3)f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2f(-3)=-f(3)=2所以函数在[-3，3]上的最大值是f(-3)=2,最小值是f(3)=-2

Answer 2

解：(1)由题意可得f(0)+f(0)=f(0)∴f(0)=0 令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),则函数f(x)为奇函数(2)令x=x-y,则有f(x-y)+f(y)=f(x),即f(x-y)=f(x)-f(y),设任意x1>x2 代入上式则有f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)∵x1-x2>0，则f(x1-x2)<0,∴f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)对任意x1>x2成立，则f(x)为减函数(3)f(1)+f(1)=f(2)=-4/3 f(1)+f(2)=f(3)=-2,由于f(x)是奇函数且为减函数，所以在[-3,3]上的值域为[-2,2]