Question

一道数学题，求解答。急！！

正方形abcd的边长为2a，h是以bc为直径的半圆上的一点，过点h与半圆相切的直线交ab于点e交cd于点f，当h在半圆上移动时，切线EF于ab、cd的两个交点也分别在AB、CD上移动(E与A不重合，F与D 不重合）四边形ABCD的周长是否也在变化 证明结论 谢谢

Answer 1

如图，易知AB,DC,EF都是切线，所以BE＝EH，GF＝CF

所以四边形AEFD周长＝AE+EF+FD+AD＝AE+EH+HF+FD+AD＝AB+DC+AD＝3AB，不变

Answer 2

解：（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化．
（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴ ，即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2= S，
∴ OB•BE+ OC•CF= •4a2．
即BE+CF= a…②
解①②得BE= a，FC= a；或BE= a，FC= a．

Answer 3

解：（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化．
（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴ ，即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2= S，
∴ OB•BE+ OC•CF= •4a2．
即BE+CF= a…②
解①②得BE= a，FC= a；或BE= a，FC= a
．

如图，易知AB,DC,EF都是切线，所以BE＝EH，GF＝CF
所以四边形AEFD周长＝AE+EF+FD+AD＝AE+EH+HF+FD+AD＝AB+DC+AD＝3AB，不变

Answer 4

 
初中数学试题解析

（2011•增城市一模）已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，过H与圆O相切的直线交AB于E，交CD于F．
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动（E、A不重合，F、D不重合），试问：四边形AEFD的周长是否也在变化？证明你的结论；
（2）设△BOE的面积为S1，△COF的面积为S2，正方形ABCD的面积为S，且S1+S2=
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S，求BE与CF的长．
考点：切线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题；数形结合．
分析：