Question

设函数fx=ax^2+bx+c 且f1=-a/2 3a＞2c＞2b 求证（1）a＞0 且 -3＜b

设函数fx=ax^2+bx+c 且f1=-a/2 3a＞2c＞2b 求证（1）a＞0 且 -3＜b/a＜-3/4 （2）函数fx在区间（0，2）内

Answer 1

1）f(1)=a+b+c=-a/2,得：-1.5a=b+c
由3a>2c>2b,得：b<1.5a, c<1.5a
因此有-1.5a=b+c<1.5a+1.5a, 解得：a>0
由c>b, 得-1.5a=b+c>b+b, 即-1.5a>2b, b/a<-3/4
由c<1.5a, 得：-1.5a=b+c<b+1.5a, 即b>-3a, b/a>-3
因此有-3<b/a<-3/4
从这里也可直接得出b<0
2)f(0)=c
f(1)=-a/2<0
若c>0, 则在(0,1)间至少有一个根。
若c<=0,则f(2)=4a+2b+c=-4*(b+c)/1.5+2b+c=(-b-2.5c)/1.5>0,则在（1，2）间至少有一个根。
综合得(0,2)至少有一个实根。
3）|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(b/a)^2-4c/a=(b/a)^2-4(-1.5a-b)/a=(b/a)^2+4b/a+6
=(b/a+2)^2+2>=2
所以有|x1-x2|>=√2
而-3<b/a<-3/4,所以|x1-x2|^2在当b/a在-3/4时取最大值(-3/4+2)^2+2=57/16, 即有|x1-x2|<√57/4