Question

裂项法怎么用

1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+…+1/[(2n-1)(2n+1)]
以及
(1/2)^0*(1/2)^1+(1/2)^1*(1/2)^2+…+(1/2)^(n-1)*(1/2)^n

这两个式子求和，是要用裂项法吧，可是怎么弄来着。
类似这种的裂项怎么玩啊~

Answer 1

1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+…+1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+....+1/(2n+1)
=n/(2n+1)

(1/2)^0*(1/2)^1+(1/2)^1*(1/2)^2+…+(1/2)^(n-1)*(1/2)^n
=1/2+(1/2)^3+(1/2)^5...+(1/2)^(2n-1)
=(2^n-1)/3*2^(n-1)

Answer 2

第一个是列项相消,利用公式:1/[(2n-1)(2n+1)=(1/2)*{1/(2n-1)-1/(2n+1)}
所以原式=0.5*{1-1/(2n+1)}=n/(2n+1)

列项相消就是把原来式子里的每部分拆开,使前一项中的某一项能够和后一项中的某一项相抵消,从而得到最后的计算结果也就是没有被抵消的几项的相加减.

第2个是用等比求和可直接求出来,是以0.5为第一项.0.25为公比的等比和

类似的列项还有1/(n-1)n(n+1)..