Question

如图四棱锥

如图四棱锥P-ABCD中PA垂直于底面ABCD,BC=CD=2，AC=4。∠ACB=∠ACD=π/3，F为PC中点，AF垂直于PB。（1）求PA得长。（2）求二面角B-AF-D的正弦值。

Answer 1

（1）2根号3 （2）3根号7/8
(1)如图，连结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，

故AC⊥BD.以O为坐标原点，OB,OC,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC＝CDcos60＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin60＝根号3，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－根号3，0，0)．
因为PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，得F=（0，-1，2/z)，故·AF.PB＝0，即z＝2(舍去－2)，所以|PA|＝2.
(2)由(1)知AD＝(－根号3，3，0)，AB＝(根号3，3，0)，AF＝(0，2，根号3)．设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由n1AD·＝0，n1AF·＝0，得因此可取n1＝(3，根号3，－2)．
由n2AB·＝0，n2·AF＝0，得故可取n2＝(3，－根号3，2)．
从而向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝1/8
故二面角B-AF-D的正弦值为.3根号7/8

Answer 2

AC垂直平分PC，所以Pac为等腰直角三角形，Pa = Ac = 4

Db= 2根号（3）=Ab=Ad， Abd为等边
Af= Pa/根号（2） = 2根号（2）
三棱锥F-ABD的高=2，Fb=Fc= Fa
ABF-Adf为全等等腰三角形，B到Af的垂线与C到Af的垂线交于G
Bg= Dg= Bfsin <AFB
等腰三角形BDG中
<BGD = 2 arcsin(BD/2 / BG) = 2arcsin(根号（3）/（2根号（2）sin<AFB)
sin<BGD = 2根号（6）/5为所求