设函数f(x)=x|x-a|,x∈[0,1]的最大值为a^2/4,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围谢谢详细解析过程!... 已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围
谢谢详细解析过程!
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韩增民松
2013-10-22 · TA获得超过2.3万个赞
知道大有可为答主
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已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围

解析:因为,分段函数:
f(x)=ax-x^2 (x<a)
f(x)=x^2-ax (x>=a)
当x<a时,f(x)为开口向下的抛物线,对称轴为x=a/2,其最大值为a^2/4
当x>=a时,f(x)为开口向上的抛物线,对称轴为x=a/2,其最小值为a^2/4
当a<=0时,a<a/2<0,f(x)在区间[0,1]上单调增,最大值为f(1)=|1-a|
当a>0时,0<a/2<a,
a^2/4-|1-a|==>0<a<1时,(a^2-4+4a)/4>=0==>a>=2√2-2
a>=1时,(a^2+4-4a)/4>=0==>(a-2)^2>=0

当0<a<2√2-2时,a^2/4<|1-a|
当2√2-2<=a<=2时,a^2/4>=|1-a|
当a>2时,a^2/4>|1-a|
综上:当2√2-2<=a<=2时,f(x)在区间[0,1]上,最大值为a^2/4
追问
谢谢你的回答!
似乎少了一个a=-2√2-2
追答
对,当a=-2√2-2时,a<0,f(x)在区间[0,1]上单调增,最大值为f(1)=|1-a|,在数值上|1-a|=a^2/4
mwsx001
2013-10-22 · 知道合伙人软件行家
mwsx001
知道合伙人软件行家
采纳数:6013 获赞数:19838
浙江大学本科

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f(x)有最大值,所以x<a,所以f(x)=-x²+ax=-(x-a/2)²+a²/4所以当x-a/2=0时f(x)有最大值a²/4
又x∈[0,1]所以a∈[0,2].
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隐藏象棋
2013-10-22 · 超过35用户采纳过TA的回答
知道答主
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若a<0,则f(x)=x^2-ax=(x-a/2)^2-a^2/4,在[0,1]上递增,x=1取得最大值,即1-a=a^2/4,求得a=+-2sqrt(2)-2,a<0,故a=-2sqrt(2)-2
若a>1,则f(x)=ax-x^2=-(x-a/2)^2+a^2/4递增,x=1取得最大值,求得a=2
若0<=a<=1,则若x>a,则f(x)=(x-a/2)^2-a^2/4,在[a,1]上递增,在[0,a/2]递减,a<=1,所以a/2<=1/2,故x=1取得最大值,求得a=2sqrt(2)-2
若x<=a,则f(x)=ax-x^2=-(x-a/2)^2+a^2/4,f(x)在[0,a/2]递增,在[a/2,1]递减,当x=a/2有最大值。
故a的取值范围为a=-2sqrt(2)-2and a=2 and [0,1]
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